缉古算经

    假今天正十一月朔夜半，日在斗十度七百分度之四百八十。以章岁为母，朔月行定分九千，朔日定小余一万，日法二万，章岁七百，亦名行分法。今不取加时日度。问：天正朔夜半之时月在何处？（推朔夜半月度，旧术要须加时日度。自古先儒虽复修撰改制，意见甚众，并未得算妙，有理不尽，考校尤难。臣每日夜思量，常以此理屈滞，恐后代无人知者。今奉敕造历，因即改制，为此新术。旧推日度之术，巳得朔夜半日度，仍须更求加时日度，然知月处。臣今作新术，但得朔夜半日度，不须加时日度，即知月处。此新术比于旧术，一年之中十二倍省功，使学者易知）

    答曰：在斗四度七百分度之五百三十。

    术曰（推朔夜半月度，新术不复加时日度，有定小余乃可用之）：以章岁减朔月行定分，余以乘朔日定小余，满日法而一，为先行分。不尽者，半法已上收成一，已下者弃之。若先行分满日行分而一，为度分，以减朔日夜半日所在度分，若度分不足减，加往宿度；其分不足减者，退一度为行分而减之，余即朔日夜半月行所在度及分也（凡入历当月行定分，即是月一日之行分。但此定分满章岁而一，为度。凡日一日行一度。然则章岁者，即是日之一日行分也。今按：《九章·均输篇》有犬追兔术，与此术相似。彼问：犬走一百走，兔走七十步，令免先走七十五步，犬始追之，问几何步追及？答曰：二百五十步追及。彼术曰：以兔走减犬走，余者为法。又以犬走乘兔先走，为实。实如法而一，即得追及步数。此术亦然。何者？假令月行定分九千，章岁七百，即是日行七百分，月行九千分。令日月行数相减，余八千三百分者，是日先行之数。然月始追之，必用一日而相及也。令定小余者，亦是日月相及之日分。假令定小余一万，即相及定分，此乃无对为数。其日法者，亦是相及之分。此又同数，为有八千三百，是先行分也。斯则异矣。但用日法除之，即四千一百五十，即先行分。故以夜半之时日在月前、月在日后，以日月相去之数四千一百五十减日行所在度分，即月夜半所在度分也）。

    假令太史造仰观台，上广袤少，下广袤多。上下广差二丈，上下袤差四丈，上广袤差三丈，高多上广一十一丈，甲县差一千四百一十八人，乙县差三千二百二十二人，夏程人功常积七十五尺，限五日役台毕。羡道从台南面起，上广多下广一丈二尺，少袤一百四尺，高多袤四丈。甲县一十三乡，乙县四十三乡，每乡别均赋常积六千三百尺，限一日役羡道毕。二县差到人共造仰观台，二县乡人共造羡道，皆从先给甲县，以次与乙县。台自下基给高，道自初登给袤。问：台道广、高、袤及县别给高、广、袤各几何？

    答曰：

    台高一十八丈

    上广七丈，

    下广九丈，

    上袤一十丈，

    下袤一十四丈；

    甲县给高四丈五尺，

    上广八丈五尺，

    下广九丈，

    上袤一十三丈，

    下袤一十四丈；

    乙县给高一十三丈五尺，

    上广七丈，

    下广八丈五尺，

    上袤一十丈，

    下袤一十三丈；

    羡道高一十八丈，

    上广三丈六尺，

    下广二丈四尺，

    袤一十四丈；

    甲县乡人给高九丈，

    上广三丈，

    下广二丈四尺，

    袤七丈；

    乙县乡人给高九丈，

    上广三丈六尺，

    下广三丈，

    袤七丈。

    术曰：以程功尺数乘二县人，又以限日乘之，为台积。又以上下袤差乘上下广差，三而一，为隅阳幂。以乘截高，为隅阳截积。又半上下广差，乘斩上袤，为隅头幂。以乘截高，为隅头截积。并二积，以减台积，余为实。以上下广差并上下袤差，半之，为正数，加截上袤，以乘截高，所得增隅阳幂加隅头幂，为方法。又并截高及截上袤与正数，为廉法，从。开立方除之，即得上广。各加差，得台下广及上下袤、高。

    求均给积尺受广袤，术曰：以程功尺数乘乙县人，又以限日乘之，为乙积。三因之，又以高幂乘之，以上下广差乘袤差而一，为实。又以台高乘上广，广差而一，为上广之高。又以台高乘上袤，袤差而一，为上袤之高。又以上广之高乘上袤之高，三之，为方法。又并两高，三之，二而一，为廉法，从。开立方除之，即乙高。以减本高，余即甲高。此是从下给台甲高。又以广差乘乙高，以本高而一，所得加上广，即甲上广。又以袤差乘乙高，如本高而一，所得加上袤，即甲上袤。其上广、袤即乙下广、袤，台上广、袤即乙上广、袤。其后求广、袤，有增损者，皆放此（此应六因乙积，台高再乘，上下广差乘袤差而一。又以台高乘上广，广差而一，为上广之高。又以台高乘上袤，袤差而一，为上袤之高。以上广之高乘上袤之高，为小幂二。因下袤之高，为中幂一。凡下袤、下广之高，即是截高与上袤与上广之高相连并数。然此有中幂定有小幂一。又有上广之高乘截高，为幂一。又下广之高乘下袤之高，为大幂二。乘上袤之高为中幂一。其大幂之中又小幂一，复有上广、上袤之高各乘截高，为中幂各一。又截高自乘，为幂一。其中幂之内有小幂一。又上袤之高乘截高，为幂一。然则截高自相乘，为幂二，小幂六。又上广、上袤之高各三，以乘截高，为幂六。令皆半之，故以三乘小幂。又上广、上袤之高各三，令但半之，各得一又二分之一，故三之，二而一，诸幂乘截高为积尺）。

    求羡道广、袤、高，术曰：以均赋常积乘二县五十六乡，又六因，为积。又以道上广多下广数加上广少袤，为下广少袤。又以高多袤加下广少袤，为下广少高。以乘下广少袤，为隅阳幂。又以下广少上广乘之，为鳖隅积。以减积，余三而一，为实。并下广少袤与下广少高，以下广少上广乘之，鳖从横廉幂。三而一，加隅幂，为方法。又以三除上广多下广，以下广少袤、下广少高加之，为廉法，从。开立方除之，即下广。加广差，即上广。加袤多上广于上广，即袤。加高多袤，即道高。

    求羡道均给积尺甲县受广、袤，术曰：以均赋常积乘甲县上十三乡，又六因，为积。以袤再乘之，以道上下广差乘台高为法而一，为实。又三因下广，以袤乘之，如上下广差而一，为都廉，从。开立方除之，即甲袤。以广差乘甲袤，本袤而一，以下广加之，即甲上广。又以台高乘甲袤，本袤除之，即甲高。

    假令筑堤，西头上、下广差六丈八尺二寸，东头上、下广差六尺二寸。东头高少于西头高三丈一尺，上广多东头高四尺九寸，正袤多于东头高四百七十六尺九寸。甲县六千七百二十四人，乙县一万六千六百七十七人，丙县一万九千四百四十八人，丁县一万二千七百八十一人。四县每人一日穿土九石九斗二升。每人一日筑常积一十一尺四寸十三分寸之六。穿方一尺得土八斗。古人负土二斗四升八合，平道行一百九十二步，一日六十二到。今隔山渡水取土，其平道只有一十一步，山斜高三十步，水宽一十二步，上山三当四，下山六当五，水行一当二，平道踟蹰十加一，载输一十四步。减计一人作功为均积。四县共造，一日役华。今从东头与甲，其次与乙、丙、丁。问：给斜、正袤与高，及下广，并每人一日自穿、运、筑程功，及堤上、下高、广各几何？

    答曰：

    一人一日自穿、运、筑程功四尺九寸六分；

    西头高三丈四尺一寸，

    上广八尺，

    下广七丈六尺二寸，

    东头高三尺一寸，

    上广八尺，

    下广一丈四尺二寸，

    正袤四十八丈，

    斜袤四十八丈一尺；

    甲县正袤一十九丈二尺，

    斜袤一十九丈二尺四寸，

    下广三丈九尺，

    高一丈五尺五寸；

    乙县正袤一十四丈四尺；

    斜袤一十四丈四尺三寸，

    下广五丈七尺六寸，

    高二丈四尺八寸；

    丙县正袤九丈六尺，

    斜袤九丈六尺二寸，

    下广七尺，

    高三丈一尺；

    丁县正袤四丈八尺，

    斜袤四丈八尺一寸，

    下广七丈六尺二寸，

    高三丈四尺一寸。

    求人到程功运筑积尺，术曰：置上山四十步，下山二十五步，渡水二十四步，平道一十一步，踟蹰之间十加一，载输一十四步，一返计一百二十四步。以古人负土二斗四升八合，平道行一百九十二步，以乘一日六十二到，为实。却以一返步为法。除，得自运土到数也。又以一到负土数乘之，却以穿方一尺土数除之，得一人一日运动积。又以一人穿土九石九斗二升，以穿方一尺土数除之，为法。除之，得穿用人数。复置运功积，以每人一日常积除之，得筑用人数。并之，得六人。共成二十九尺七寸六分，以六人除之，即一人程功也。

    求堤上、下广及高、袤，术曰：一人一日程功乘总人，为堤积。以高差乘下广差，六而一，为鳖幂。又以高差乘小头广差，二而一，为大卧堑头幂。又半高差，乘上广多东头高之数，为小卧堑头幂。并三幂，为大小堑鳖率。乘正袤多小高之数，以减堤积，余为实。又置半高差及半小头广差与上广多小头高之数，并三差，以乘正袤多小头高之数。以加率为方法。又并正袤多小头高、上广多小高及半高差，兼半小头广差加之，为廉法，从。开方立除之，即小高。加差，即各得广、袤、高。又正袤自乘，高差自乘，并，而开方除之，即斜袤。

    求甲县高、广、正、斜袤，术曰：以程功乘甲县人，以六因取积，又乘袤幂。以下广差乘高差为法除之，为实。又并小头上下广，以乘小高，三因之，为垣头幂。又乘袤幂，如法而一，为垣方。又三因小头下广，以乘正袤，以广差除之，为都廉，从。开立方除之，得小头袤，即甲袤。又以下广差乘之，所得以正袤除之，所得加东头下广，即甲广。又以两头高差乘甲袤，以正袤除之，以加东头高，即甲高。又以甲袤自乘；以堤东头高减甲高，余自乘，并二位，以开方除之，即得斜袤。若求乙、丙、丁，各以本县人功积尺，每以前大高、广为后小高、主廉母自乘，为方母。廉母乘方母，为实母（此平堤在上，羡除在下。两高之差即除高。其除两边各一鳖腝，中一堑堵。今以袤再乘六因积，广差乘袤差而一，得截鳖腝袤，再自乘，为立方一。又堑堵袤自乘，为幂一。又三因小头下广，大袤乘之，广差而一，与幂为高，故为廉法。又并小头上下广，又三之，以乘小头高为头幂，意同六除。然此头幂，本乘截袤。又袤乘之，差相乘而一。今还依数乘除一头幂，为从。开立方除之，得截袤）。

    求堤都积，术曰：置西头高，倍之，加东头高，又并西头上下广，半而乘之。又置东头高，倍之，加西头高，又并东头上下广，半而乘之。并二位积，以正袤乘之，六而一，得堤积也。

    假令筑龙尾堤，其堤从头高、上阔以次低狭至尾。上广多，下广少，堤头上下广差六尺，下广少高一丈二尺，少袤四丈八尺。甲县二千三百七十五人，乙县二千三百七十八人，丙县五千二百四十七人。各人程功常积一尺九寸八分，一日役毕，三县共筑。今从堤尾与甲县，以次与乙、丙。问：龙尾堤从头至尾高、袤、广及各县别给高、袤、广各多少。

    答曰：

    高三丈，

    上广三丈四尺，

    下广一丈八尺，

    袤六丈六尺；

    甲县高一丈五尺，

    袤三丈三尺，

    上广二丈一尺；

    乙县高二丈一尺，

    袤一丈三尺二寸，

    上广二丈二尺二寸；

    丙县高三丈，袤一丈九尺八寸，

    上广二丈四尺。

    求龙尾堤广、袤、高，术曰：以程功乘总人，为堤积。又六因之，为虚积。以少高乘少袤，为隅幂。以少上广乘之，为鳖隅积。以减虚积，余，三约之，所得为实。并少高、袤，以少上广乘之，为鳖从横廉幂。三而一，加隅幂，为方法。又三除少上广，以少袤、少高加之，为廉法，从。开立方除之，得下广。加差，即高、广、袤。

    求逐县均给积尺受广、袤，术曰：以程功乘当县人，当积尺。各六因积尺。又乘袤幂。广差乘高，为法。除之，为实。又三因末广，以袤乘之，广差而一，为都廉，从。开立方除之，即甲袤。以本高乘之，以本袤除之，即甲高。又以广差乘甲袤，以本袤除之，所得加末广，即甲上广。其甲上广即乙末广，其甲高即垣高。求实与都廉，如前。又并甲上下广，三之，乘甲高，又乘袤幂，以法除之，得垣方，从。开立方除之，即乙袤。余放此（此龙尾犹羡除也。其堑堵一，鳖腝一，并而相连。今以袤再乘积，广差乘高而一，所得截鳖腝袤再自乘，为立方一。又堑堵袤自乘，为幂一。又三因末广，以袤乘之，广差而一，与幂为高，故为廉法）。

    假令穿河，袤一里二百七十六步，下广六步一尺二寸；北头深一丈八尺六寸，上广十二步二尺四寸；南头深二百四十一尺八寸；上广八十六步四尺八寸。运土于河西岸造漘，北头高二百二十三尺二寸，南头无高，下广四百六尺七寸五厘，袤与河同。甲郡二万二千三百二十人，乙郡六万八千七十六人，丙郡五万九千九百八十五人，丁郡三万七千九百四十四人。自穿、负、筑，各人程功常积三尺七寸二分。限九十六日役，河漘俱了。四郡分共造漘，其河自北头先给甲郡，以次与乙，合均赋积尺。问：逐郡各给斜、正袤，上广及深，并漘上广各多少？

    答曰：

    漘上广五丈八尺二寸一分；

    甲郡正袤一百四十四丈，

    斜袤一百四十四丈三尺，

    上广二十六丈四寸，

    深一十一丈一尺六寸；

    乙郡正袤一百一十五丈二尺，

    斜袤一百一十五丈四尺四寸，

    上广四十丈九尺二寸，

    深一十八丈六尺；

    丙郡正袤五十七丈六尺，

    斜袤五十七丈七尺二寸，

    上广四十八丈三尺六寸，

    深二十二丈三尺二寸，

    丁郡正袤二十八丈八尺，

    斜袤二十八丈八尺六寸，

    上广五十二丈八寸，

    深二十四丈一尺八寸。

    术曰：如筑堤术入之（覆堤为河，彼注甚明，高深稍殊，程功是同，意可知也）。以程功乘甲郡人，又以限日乘之，四之，三而一，为积。又六因，以乘袤幂。以上广差乘深差，为法。除之，为实。又并小头上、下广，以乘小头深，三之，为垣头幂。又乘袤幂，以法除之，为垣方。三因小头上广，以乘正袤，以广差除之，为都廉，从。开... -->>
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