第五章 空间和时间的相对性

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    图37

    空间收缩效应虽然对于理解物理学的基本原理非常重要，但在日常生活中却几乎未受注意，这是因为与光速相比，我们在日常经验中遇到的最高速度仍然微不足道。例如，一辆以每小时50英里的速度行驶的汽车，其长度只减小到原来的

    倍，这相当于汽车从头到尾只减少了一个原子核的直径那么长！一架时速超过600英里的喷气式飞机，其长度只减少了一个原子直径那么长。就连时速超过25000英里的100米长的星际火箭，其长度也只是减少了百分之一毫米。

    不过，如果设想物体以光速的50％、90%和99%运动，其长度将分别缩短为静止长度的86%、45%和14%。

    所有高速运动物体的这种相对论收缩效应可见于一位不知名作者所写的一首打油诗：

    菲斯克小伙剑术精，

    出剑迅速如流星，

    由于菲茨杰拉德收缩性，

    长剑变成小铁钉。

    当然，这位菲斯克先生出剑必须快如闪电才行！

    根据四维几何学的观点，很容易把所有运动物体的这种普遍收缩解释为时空坐标系的旋转使物体不变的四维长度的空间投影发生了改变。事实上，根据上一节讨论的内容，你一定还记得，从运动系统所作的观察必须通过空间轴和时间轴都旋转某个角度（角度的大小取决于速度）的坐标来描述。因此，如果在静止系统中，四维距离百分之百地投影在空间轴上（图38a），那么在新的坐标轴中，它的空间投影总会更短（图38b）。

    图38

    请务必记住，所预期的长度缩短只和两个系统的相对运动有关。如果所考虑的物体相对于第二个系统静止，因此表示为一条与新空间轴平行的长度不变的线，那么它在原空间轴上的投影将缩短同样的倍数。

    因此，指明两个坐标系中哪一个“真正”在运动不仅没必要，而且没有物理意义。重要的仅仅是它们在作相对运动。于是，假定未来某个“星际交通公司”的两艘高速行驶的载人飞船在地球与土星之间的某地相遇，每艘飞船上的乘客透过舷窗都能看到另一艘飞船显著变短了，而自己乘坐的这艘飞船却注意不到有什么收缩。争论哪艘飞船“真正”缩短了是没有意义的，因为无论哪艘飞船，在另一艘飞船上的乘客看来都缩短了，而在它自己的乘客看来却没有缩短。31

    四维时空理论也使我们明白，为什么运动物体速度接近光速时，才会有明显的相对论收缩。事实上，时空坐标轴旋转的角度取决于运动系统走过的距离与所需时间之比。如果用米来测量距离，用秒来测量时间，那么这个比值就是用米/秒表示的常用速度。然而，四维世界中的时间间隔是用普通的时间间隔乘以光速表示的，而决定旋转角度的比值又是用米/秒表示的运动速度除以用同样的单位表示的光速，因此只有当两个运动系统的相对速度接近光速时，旋转角度及其对距离测量的影响才会变得显著。

    时空坐标系的旋转既影响了长度测量，影响了对时间间隔的测量。但可以表明，由于第四个坐标具有特殊的虚数性，32空间距离缩短时，时间间隔会膨胀。如果把一只钟安置于一辆高速行驶的汽车中，它将比安置在地面上的钟走得慢些，相继两次嘀嗒声的时间间隔会加长。和长度的缩短一样，运动时钟的变慢也是一种普遍效应，只取决于运动速度。因此，无论是最现代的手表，还是你祖父的旧式摆钟，抑或是计时沙漏，只要运动速度相同，变慢的程度就会相同。当然，这种效应并不限于被我们称为“钟”和“表”的特殊机械；事实上，所有物理过程、化学过程或生理过程都将以相同的程度变慢。因此，如果你在疾驰的飞船上煮鸡蛋做早餐，你不必担心因手表走得太慢而把鸡蛋煮老了，因为鸡蛋内部的过程也会相应地变慢。如果你看着表把鸡蛋煮上五分钟，你仍然能吃上平日里吃的“五分钟蛋”。这里我们之所以用飞船而不是火车餐车作例子，是因为时间膨胀也和长度的收缩一样，只有在速度接近光速时才变得比较明显。时间膨胀的因子也和空间收缩一样是。区别在于，这里不是把它用作乘数，而是用作除数。如果一个物体运动得非常快，以至于长度减少了一半，那么时间间隔会变成两倍长。

    运动系统中时间速度的变慢会对星际旅行产生一个有趣的影响。假设你决定造访距离太阳系9光年的天狼星的一颗行星，并且乘坐了一艘几乎能以光速行驶的飞船。你自然会以为，天狼星的往返之旅至少需要18年，因此准备随身携带大量食物。不过，如果你乘坐的飞船真能以接近光速的速度行驶，这种担心就是完全没有必要的。事实上，如果你以光速的99.999 999 99%移动，你的手表、心脏、呼吸、消化和心理过程都将减慢70 000倍，因此从地球到天狼星再返回地球（在留在地球上的人看来）所花的18年在你看来将只有几个小时。事实上，如果你吃过早饭就从地球出发，那么当你的飞船降落在天狼星的一颗行星表面上时，你正好可以吃中饭。如果你时间很紧，吃过午饭就马上返航，那么你很可能赶得上在地球上吃晚饭。不过，如果你忘了相对论定律，你到家时定会大吃一惊，因为亲友们会认为你已在太空中不知所踪，因此已经自行吃过6570顿晚饭了！由于你正以近乎光速的速度旅行，地球上的18年对你而言只是一天而已。

    那么，运动得比光还快会怎么样呢？对这个问题的回答亦可见于一首相对论打油诗：

    年轻女孩名伯蕾，

    健步如飞光难追；

    爱因斯坦来指点，

    今日出行昨夜归。

    的确，如果速度接近光速可以使运动系统中的时间变慢，那么超过光速不就能把时间倒转了吗！此外，由于毕达哥拉斯根式下面代数符号的改变，时间坐标会变成实数，从而成为空间距离；一如超光速系统中的所有长度都经过零而变成虚数，从而成为时间间隔。

    如果所有这一切是可能的，图33中那个爱因斯坦变尺为钟的戏法就会成为现实了，只要在此过程中他能设法超过光速。

    不过，物理世界虽然荒唐，但并非那么疯狂。这种魔术式的操作显然是不可能实现的，这可以简单地总结为：任何物体都不能以光速或超光速运动。

    这条基本自然定律的物理学基础在于一个已被无数实验直接证明的事实，即在运动速度接近光速时，运动物体所谓的惯性质量（反映了物体对进一步加速的机械反抗）会无限增大。于是，如果一颗子弹以光速的99.999 999 99%运动，它对进一步加速的反抗就相当于一枚12英寸的炮弹；如果以光速的99.999 999 999 999 99%运动，这颗小子弹的惯性反抗将会相当于一辆满载的卡车。无论给这颗子弹施加多大努力，我们也无法征服最后一位小数，使其速度正好等于宇宙中所有运动的速度上限即光速！

    三、弯曲空间和重力之谜

    看完前面这几十页关于四维坐标系的讨论，读者们必定感到头晕脑胀，对此我深表歉意。现在，我邀请读者到弯曲空间中散个步。人人都知道曲线和曲面是什么，但“弯曲空间”又是什么意思呢？这种现象之所以难以想象，与其说在于这个概念的不同寻常，不如说在于我们能从外部观察曲线和曲面，却只能从内部来观察三维空间的曲率，因为我们本身就在三维空间之中。为了理解一个三维的人如何来构想他所处的空间的曲率，我们先来考虑生活在表面上的假想的二维影子生物的状况。图39a和39b中有一些影子科学家，他们在“平面世界”和“曲面（球面）世界”上研究自己二维空间的几何学。可供研究的最简单的几何图形当然是三角形，即由连接三个几何点的三条直线所组成的图形。大家在中学几何学里都学过，平面上画的任何平面三角形的三个内角之和都是180°。但很容易看到，上述定理并不适用于在球面上画的三角形。的确，由两条经线和一条纬线所形成的球面三角形就有两个直角的底角，顶角的值则可介于0°与360°之间。以图39b中那两个影子科学家所研究的三角形为例，三个角之和等于210°。于是我们看到，通过测量其二维世界中的几何图形，影子科学家们无须从外面观察便可发现那个世界的曲率。

    将上述观察运用于又多了一维的世界，我们自然能够得出结论说，生活在三维空间中的人类科学家无须跃入第四维，只要测量连接其空间中三点的三条直线之间的夹角便可确定那个空间的曲率。如果三个角之和等于180°，那么空间就是平坦的，否则就是弯曲的。

    不过在作进一步讨论之前，我们先要弄清楚“直线”一词是什么意思。看到图39a和图39b所示的两个三角形，读者们也许会说，平面三角形（图39a）的各边是真正的直线，而球面上的各边（图39b）则是球面上大圆33的弧，其实是弯曲的。

    图39　“平面世界”和“曲面世界”上的二维科学家们正在检查关于三角形内角和的欧几里得定理

    这种基于我们常识几何学观念的说法会使影子科学家们根本不可能发展出他们二维空间的几何学。直线概念需要一种更一般的数学定义，使它不仅能在欧几里得几何中获得一席之地，还能把表面和空间中更复杂的线包括进来。要想作这样一种推广，可以把直线定义为某个表面或空间中描绘两点之间最短距离的线。在平面几何中，上述定义当然符合我们常见的直线概念；而在更复杂的曲面的情况下，它会引出一族定义明确的线，在这里所起的作用就如同普通“直线”在欧几里得几何中所起的作用。为了避免误解，我们常常把描绘曲面上最短距离的线称为测地线，因为这种观念最早是在测地学————即测量地球表面的科学————中被引入的。事实上，当我们谈起纽约与旧金山的直线距离时，我们是指“笔直地”沿着地球表面的曲线走，而不是像一台巨型钻机那样笔直地钻透地球。

    这种把“广义直线”或“测地线”看成两点之间最短距离的定义暗示，作这种线有一种简单的物理方法，那就是在两点之间拉紧一根绳子。如果在平面上做，你会得到一条普通的直线；如果在球面上做，你会发现这根绳子沿着一个大圆的弧张紧，它对应于球面上的测地线。

    通过类似的办法，我们也可以查明我们所身处的三维空间是平坦的还是弯曲的。我们只需在空间中的三个点之间拉紧绳子，看看由此形成的三个角之和是否等于180°。不过，在设计这样一个实验时必须记住两点：一是实验必须在非常大的尺度上进行，因为曲面或弯曲空间的一个微小部分对我们来说可能显得很平坦，我们显然不能通过在后院里测量出来的结果来确定地球表面的曲率；二是此表面或空间也许在某些区域是平坦的，而在另一些区域是弯曲的，因此可能需要作完整的测量。

    爱因斯坦在创立关于弯曲空间的广义理论时包含了一个了不起的想法，那就是假定物理空间在巨大的质量附近会变弯曲；质量越大，曲率就越大。为了用实验来验证这个假说，我们可以环绕一座大山钉三个木桩，在木桩之间拉紧绳子（图40a），然后测量绳子在三个木桩处形成的夹角。即使选择了最大的山，哪怕是喜马拉雅山，你也会发现，考虑到可能的测量误差，三个角之和将正好等于180°。但这个结果并不必然意味着爱因斯坦是错的，并不表明大质量的存在不会使其周围的空间发生弯曲，因为即使是喜马拉雅山，可能也不会使周围的空间弯曲到能用我们最精密的测量仪器记录下来。大家还记得伽利略试图用遮光灯测量光速时的惨败吧！（图31）

    图40

    因此不要灰心，找个更大的质量再试一次，比如太阳。

    如果你在地球上某个点拴根绳子扯到一颗恒星上去，再从这颗恒星扯到另一颗恒星上，然后再回到地球上原来那个点，并让太阳围在绳子组成的三角形内。你瞧，这下要成功了！你会看到，这三个角之和将与180°有显著不同。如果你没有足够长的绳子来作这项实验，可以把绳子换成一束光线，因为光学告诉我们，光总是走所有可能路线中最短的。

    图40b是这项测量光线夹角的实验的示意图。位于太阳两侧的恒星SI和SII发出的光线会聚到经纬仪中，这样便测出了它们的夹角。然后等太阳离开时再重复进行实验，并把两个角度加以比较。如果有所不同，就证明太阳的质量改变了其周围空间的曲率，使光线偏离了原路。这个实验最初是爱因斯坦为了检验自己的理论而提出来的。将它与图41所示的二维类比相比较，读者们可以获得更好的理解。

    图41

    在通常条件下做爱因斯坦的这项实验显然有一个实际障碍：耀眼的太阳光使我们看不到它周围的星星。不过在日全食期间，星星在白天也是清晰可见的。1919 年，一支英国天文远征队前往西非的普林西比群岛进行实际检验，那里是当年日全食的最佳观测地点。结果发现，两颗恒星的角距离在有太阳和没有太阳介于其间的情况下相差1.61"±0.30"。而爱因斯坦的理论预言这个值为1.75"。后来所做的各种远征也得到了类似的观测结果。

    当然，1.5角秒并不大，但已足以证明，太阳的质量的确迫使它周围的空间发生了弯曲。

    如果能用其他某个大得多的星体来代替太阳，关于三角形内角和的欧几里得定理就会出现若干分甚至若干度的误差。

    一个内部的观察者需要一定的时间和丰富的想象力，才能习惯于弯曲三维空间的观念，不过一旦被正确理解，它就会和我们所熟知的其他任何古典几何学概念一样清晰明确。

    我们还需要再前进一步，才能完全理解爱因斯坦的弯曲空间理论及其与万有引力这个基本问题的关系。我们不要忘了，刚才一直在讨论的三维空间只是充当着所有物理现象背景的四维时空世界的一部分。因此，空间的弯曲本身仅仅反映了更一般的四维时空世界的弯曲，而表示这个世界中光线运动和物体运动的四维世界线必须被看成超空间中的曲线。

    从这种观点来考察问题，爱因斯坦得出了一个著名结论：重力现象仅仅是四维时空世界的弯曲所产生的效应。事实上，太阳施加某个力直接作用于行星，使之围绕太阳沿圆形轨道运动，这种旧的说法现在可以被视为不当而加以抛弃。更准确的说法则是：太阳的质量使它周围的时空世界发生了弯曲，图30中行星的世界线之所以是那个样子，仅仅因为它们是穿过弯曲空间的测地线。

    这样一来，作为一种独立的力的重力概念就从我们的思想中彻底消失了。取而代之的则是纯粹的空间几何学概念，在这个空间中，所有物体都按照其他大质量所造成的弯曲沿着“最直的线”或测地线运动。

    四、封闭空间和开放空间

    在结束本章之前，还须简要讨论一下爱因斯坦时空几何学中的另一个重要问题，那就是宇宙是否有限。

    迄今为止，我们一直在讨论空间在大质量附近的局域弯曲，这就好像宇宙这张巨大的脸上散布着各种“空间粉刺”。但撇开这些局域偏差不谈，宇宙的脸是平坦的还是弯曲的？如果是弯曲的，又是以何种方式弯曲的呢？图42对长有“粉刺”的平坦空间和两种可能的弯曲空间做出了二维描绘。所谓的“正曲率”空间对应于球面或其他任何封闭的几何形体的表面，无论朝着什么方向，它都以“同样的方式”弯曲。与之相反的“负曲率”空间则在一个方向上向上弯，在另一个方向上向下弯，很像一个马鞍面。这两种弯曲的区别很容易弄清楚：你可以从足球和马鞍上分别割下一块皮子，试着把它们在桌面上摊平。你会注意到，如果既不伸展又不收缩，那么两者都摊不成平面。足球皮的边缘必须伸展，马鞍皮的边缘必须收缩；足球皮的中心周围没有足够的材料将它摊平，而马鞍皮的材料又多了些，要想弄得平坦光滑总会折叠起来。

    图42

    对于这一点还能作另一种表述。假如我们（沿着表面）从某一点开始数距离它1英寸、2英寸、3英寸等范围内“粉刺”的个数，我们会发现：在平坦的表面上，“粉刺”个数是像距离的平方即1，4，9…那样增长的；在球面上，“粉刺”数目的增长会比平面上慢一些；而在“马鞍”面上则比平面上快一些。于是，生活在表面上的二维影子科学家虽然无法从外面打量该表面的形状，但仍然能通过计算落在不同半径的圆内的粉刺数来觉察它的弯曲状况。这里我们还会注意到，正曲率与负曲率之间的差别显示于对相应三角形角度的测量。正如我们在上一节看到的，画在球面上的三角形的内角和总是大于180°。如果你在马鞍面上画一个三角形，会发现它的内角和总是小于180°。

    上述由曲面得到的结果可以推广到弯曲的三维空间，并得到下表：

    空间类型

    远距离状况

    三角形内角和

    体积增长情况

    正曲率（类似球面）

    自行封闭

    ＞180°

    慢于半径立方

    平　直（类似平面）

    无穷伸展

    = 180°

    等于半径立方

    负曲率（类似马鞍面）

    无穷伸展

    ＜180°

    快于半径立方

    这张表可以用来回答我们生活的这个空间究竟是有限的还是无限的。我们将在讨论宇宙大小的第十章来探讨这个问题。